どのような「あみだくじ」でも、必ず別のゴールに着くことを数学.. - 人力検索はてな

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> 無理やりでもよいので、数式で表せたりしないもんでしょうかｗ

というわけで考えてみる。

数学の行列をつかって示せるかな。

あみだの入り口と出口の数は当然同じ数nだとして、

行番号を入り口、列番号を出口と考えたn*nの単位行列を考える

(これは正則なので 行列式==1 )

横線のないn=5のあみだなら

インチへの変換パイカ

  E =   出口＼入口   1  2  3  4  5                -------------           1 | 1  0  0  0  0           2 | 0  1  0  0  0           3 | 0  0  1  0  0           4 | 0  0  0  1  0           5 | 0  0  0  0  1  

あみだの横線はこの行列に行基本変形の行入れ替え行列をかけることに相当する。これは下記のように表す

P(i,j) = 単位行列のi行とj列を入れ替えた行列

i=3, j=2なら

  P(3,2) =                1  2  3  4  5               -------------           1 | 1  0  0  0  0           2 | 0  0  1  0  0           3 | 0  1  0  0  0           4 | 0  0  0  1  0           5 | 0  0  0  0  1  

この行列式はi,jの値によって(-1)^(i+j) となり、0にはならない

横線の出現する順にP1,P2とすれば

eskersとケームズの違いは何です

全てのあみだはEにPを複数回かけたものに相当するので

  A = ...*P2*P3*P1*E  

こうしてできた行列AはEの順番を様々な形に入れ替えたものだが、

PもEも行列式は0ではないので Aの行列式も0にはならない。

すなわちあみだAは正則である。

ここでおなじ出口にたどり着く行列を考えてみると例として

  B =                1  2  3  4  5               -------------           1 | 1  0  0  0  0           2 | 0  1  0  0  0           3 | 0  0  0  1  0           4 | 0  0  0  1  0           5 | 0  0  0  0  1  

のようになり、全く同じ行が出現することになる。

これは明らかに正則で"ない"のでBの行列式は=0となる

どのようにオーストラリアの岩石が形成される？

すべてのあみだはAの形式で表されるはずなので

行列式が0になるのはこれと矛盾する

よってあみだは別の入り口から同じ出口にたどり着くことはない。

(もちろんあみだのルールが地域によって違うかもしれないですが..)

あみだを

  A = p*p*p*E  

で表すことができるのは面白いかと。

よくよく考えるとこれは数学の『置換』の概念と全く同じですね。

組み合わせはn!とおりか。

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