３次以上の因数分解

■３次以上の因数分解（例題→選択問題）

※ ３次以上の式の因数分解を行う強力な方法として「因数定理」があるが，これは数学IIで習う．数学Iではもっと簡単に「因数分解公式」「置き換え」などで因数分解できるものだけを扱う． [I] 　　a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) [II]　　a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) ■証明するには右辺を展開してみるとよい． 　(a+b)(a2−ab+b2) 　=a3−a2b+ab2 　+a2b−ab2+b3 　=a3________+b3＝（左辺） 　（１次が＋）（２次の符号が交替）⇒（３次は両端だけ残る） 　(a−b)(a2+ab+b2) 　=a3+a2b+ab2 どのように私は、線形方程式の解決策が見つからない 　−a2b−ab2−b3 　=a3________−b3＝（左辺） 　（１次の符号が交替）（２次の符号は一定）⇒（３次は両端だけ残る） このように「中間項が消える」のは，一方の符号だけが交替で現われるためである． 他の例 　(x+1)(x3−x2+x−1) 　=x4−x3+x2−x 　+x3−x2+x−1 　=x4________−1 　(x−1)(x4+x3+x2+x+1) 　=x5+x4+x3+x2+x 　−x4−x3−x2−x−1 　=x5___________−1 番目のetransitionゾーンで発見されているもの

注意すべきこと [I] [II] の公式は (a+b)2=a2+2ab+b2 とは全く関係がない． すなわち a3−b3 ＃等しくない＃ (a−b)(a2+2ab+b2) a3+b3 ＃等しくない＃ (a+b)(a2−2ab+b2) [I] [II]の例 x3+8=x3+23=(x+2)(x2−2·x+22)=(x+2)(x2−2x+4) 8x3−27=(2x)3−33=(2x−3)(x2+(2x)·3+32) ______=(2x−3)(4x2+6x+9) 問題1　次の式を因数分解せよ．　（正しいものを選べ．）

. .

[IV] 　　x2 , x4 , x6 ··· のようにx の偶数乗から成る式を複二次式という． 　複二次式は x2=A と「置き換え」ると因数分解しやすい 多項式の歴史は何ですか？ [IV]の例 x4+x2−6 の因数分解 ____x2=A とおくと ____（原式）=A2+A−6=(A+3)(A−2) ____元の x に戻すと (x2+3)(x2−2) …（答） x4−6x2+8 の因数分解 ____x2=A とおくと ____（原式）=A2−6A+8=(A−2)(A−4) ____元の x に戻すと (x2−2)(x2−4) ※安心するのはまだ早い！ x2−4 は，さらに因数分解できる． ____(x2−2)(x+2)(x−2) …（答） ※ 考えようによっては，x2−2 も (x+)(x−) とも書けるが，通常「特に断り書きがなければ，係数は有理数（整数・分数）の範囲で因数分解する」ことになっているので上記の答案でよい．

問題3　次の式を因数分解せよ．　（正しいものを選べ．）

.

[V] 　(x2+2x)2−2(x2+2x)−3 などのように「同じもの」が２回以上登場するときは，その同じものを A とおくと因数分解しやすい． [IV]の例 (x2+2x)2−2(x2+2x)−3 の因数分解 ____x2+2x=A とおくと ____（原式）=A2−2A−3=(A+1)(A−3) ____元の x に戻すと ____(x2+2x+1)(x2+2x−3)=(x+1)2(x+3)(x−1) …（答） 同じものがないときは「作る」 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)−8 の因数分解 ____（原式）=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)−8 ______________=(x2+5x+4)(x2+5x+6)−8 ____x2+5x=A とおくと ______________(x2+5x+4)(x2+5x+6)−8 ______________=(A+4)(A+6)−8=A2+10A+24−8=A2+10A+16 ______________=(A+8)(A+2) ____元の x に戻すと ____(x2+5x+8)(x2+5x+2) …（答）

問題4　次の式を因数分解せよ．　（正しいものを選べ．） ※　途中計算は各自で左のように行うこと．

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